普通圆柱蜗杆传动承载能力计算

　　(一)蜗杆传动的失效形式、设计准则及常用材料
和齿轮传动一样，蜗杆传动的失效形式也有点蚀(齿面接触疲劳破坏)、齿根折断、曲面胶合及过度磨损等。由于材料和结构上的原因，蜗杆螺旋齿部分的强度总是高于蜗轮轮齿的强度，所以失效经常发生在蜗轮轮齿上。因此，一般只对蜗轮轮齿进行承载能力计算。由于蜗杆与蜗轮齿面间有较大的相对滑动，从而增加了产生胶合和磨损失效的可能性，尤其在某些条件下(如润滑不良),蜗杆传动因齿面胶合而失效的可能性更大。因此，蜗杆传动的承载能力往往受到抗胶合能力的限制。
在开式传动中多发生齿面磨损和轮齿折断，因此应以保证齿根弯曲疲劳强度作为开式传动的主要设计准则。
在闭式传动中，蜗杆副多因齿面胶合或点蚀而失效。因此，通常是按齿面接触疲劳强度进行设计，而按齿根弯曲疲劳强度进行校核。此外，闭式蜗杆传动，由于散热较为困难，还应作热平衡核算。
由上述蜗杆传动的失效形式可知，蜗杆、蜗轮的材料不仅要求具有足够的强度，更重要的是要具有良好的磨合和耐磨性能。
蜗杆一般是用碳钢或合金钢制成。高速重载蜗杆常用15Cr或20Cr，并经渗碳淬火；也可用40、45号钢或40Cr并经淬火。这样可以提高表面硬度，增加耐磨性。通常要求蜗杆淬火后的硬度为40～55HRC，经氮化处理后的硬度为55～62HRC。一般不太重要的低速中载的蜗杆，可采用40或45号钢，并经调质处理，其硬度为220～300HBS。
常用的蜗轮材料为铸造锡青铜(ZCuSnlOPl，ZCuSn5Pb5Zn5)、铸造铝铁青铜(ZCuAl10Fe3)及灰铸铁(HTl5O、HT2OO)等。锡青铜耐磨性最好，但价格较高，用于滑动速度Vs≥3m/s的重要传动；铝铁青铜的耐磨性较锡青铜差一些，但价格便宜，一般用于滑动速度Vs≤4m/s的传动；如果滑动速度不高(Vs<2m/s)，对效率要求也不高时，可采用灰铸铁。为了防止变形，常对蜗轮进行时效处理。

　　(二)蜗杆传动的受力分析

　　蜗杆传动的受力分析和斜齿圆柱齿轮传动相似。在进行蜗杆传动的受力分析时，通常不考虑摩擦力的影响。

　　图<蜗杆传动的受力分析>所示是以右旋蜗杆为主动件，并沿图示的方向旋转时，蜗杆螺旋面上的受力情况。设Fn为集中作用于节点P处的法向载荷，它作用于法向截面Pabc内(图<蜗杆传动的受力分析>a)。Fn可分解为三个互相垂直的分力，即圆周力Ft、径向力Fr和轴向力Fa。显然，在蜗杆与蜗轮间，相互作用着Ft1与Fa2、Fr1与Fr2和Fa1与Ft2 这三对大小相等、方向相反的力(图<蜗杆传动的受力分析>c)。

图<蜗杆传动的受力分析>

　　在确定各力的方向时，尤其需注意蜗杆所受轴向力方向的确定。因为轴向力的方向是由螺旋线的旋向和蜗杆的转向来决定的,如图<蜗杆传动的受力分析>a所示，该蜗杆为右旋蜗杆，当其为主动件沿图示方向(由左端视之为逆时针方向)回转时，如图<蜗杆传动的受力分析>b所示，蜗杆齿的右侧为工作面(推动蜗轮沿图c所示方向转动),故蜗杆所受的轴向力Fa1(即蜗轮齿给它的阻力的轴向分力)必然指向左端(见图<蜗杆传动的受力分析>c下部)。如果该蜗杆的转向相反，则蜗杆齿的左侧为工作面(推动蜗轮沿图c所示方向的反向转动),故此时蜗杆所受的轴向力必指向右端。至于蜗杆所受圆周力的方向，总是与它的转向相反的；径向力的方向则总是指向轴心的。关于蜗轮上各力的方向，可由图<蜗杆传动的受力分析>c所示的关系定出

　　当不计摩擦力的影响时，各力的大小可按下列各式计算：

　　式中：T1、T2—分别为蜗杆及蜗轮上的公称转矩；
d1、d2—分别为蜗杆及蜗轮的分度圆直径。

　　(三)蜗杆传动强度计算
l．蜗轮齿面接触疲劳强度计算
蜗轮齿面接触疲劳强度计算的原始公式仍来源于赫兹公式。接触应力

式中:Fn—啮合齿面上的法向载荷，N；
L0—接触线总长，mm；
K—载荷系数；
ZE—材料的弹性影响系数，，青铜或铸铁蜗轮与钢蜗杆配对时，取ZE=160。

　　 将以上公式中的法向载荷Fn换算成蜗轮分度圆直径d2与蜗轮转矩T2的关系式，再将d2、L0、ρ∑等换算成中心距的函数后，即得蜗轮齿面接触疲劳强度的验算公式为

　　式中：Zρ—蜗杆传动的接触线长度和曲率半径对接触强度的影响系数，简称接触系数，可从图<圆柱蜗杆传动的接触系数>中查得。

图<圆柱蜗杆传动的接触系数>

　　K—载荷系数，K=KAKβKv，其中KA为使用系数，查下表<使用系数KA>；Kβ为齿向载荷分布系数,当蜗杆传动在平稳载荷下工作时，载荷分布不均现象将由于 工作表面良好的磨合而得到改善，此时可取Kβ=1；当载荷变化较大，或有冲击、振动时，可取Kβ=1.3～1.6；Kv为动载系数，由于蜗杆传动一般较平稳，动载荷要比齿轮传动的小得多，故Kv值可取定如下:对于精确制造，且蜗轮圆周速度v2≤3m/s时，取Kv=1.0～1.1；v2>3m/s时，Kv=1.1～1.2 。

　　[σ]H—蜗轮齿面的许用接触应力。

　　使用系数KA

　　 工作类型 I II III 载荷性质 均匀，无冲击 不均匀，小冲击 不均匀，大冲击 每小时起动次数 <25 25-50 >50 起动载荷 小 较大 大 KA 1 1.15 1.2

　　当蜗轮材料为灰铸铁或高强度青铜（σB≥300MPa）时，蜗杆传动的承载能力主要取决于齿面胶合强度。但因日前尚无完善的胶合强度计算公式，故采用接触强度计算是一种条件性计算，在查取蜗轮齿面的许用接触应力时，要考虑相对滑动速度的大小。由于胶合不属于疲劳失效，[σ]H的值与应力循环次数N无关，因而可直接从表<灰铸铁及铸铝铁青铜蜗轮的许用接触应力>中查出许用接触应力[σ]H的值。

　　若蜗轮材料为强度极限σB<300MPa的锡青铜，因蜗轮主要为接触疲劳失效，故应先从表<铸锡青铜蜗轮的基本许用接触应力>中查出蜗轮的基本许用接触应力[σ]H，再接[σ]H=KHN·[σ]H ，算出许用接触应力的值。上面KHN为接触强度的寿命系数。其中，应力循环次数N=60jn2Lh，此处n2为蜗轮转速，r/min；Lh为工作寿命，h；j为蜗轮每转一转，每个轮齿啮合的次数。

　　灰铸铁及铸铝铁青铜蜗轮的许用接触应力[σ]H(MPa)

　　 材料 滑动速度vs(m/s) 蜗杆 蜗轮 <0.25 0.25 0.5 1 2 3 4

　　20或20Cr渗碳，淬火，45号钢淬火，齿面硬度大于45HRC

　　 灰铸铁HT200 206 166 150 127 95 - - 灰铸铁HT200 250 202 182 154 115 - - 铸铝铁青铜ZCuAl10Fe3 - - 250 230 210 180 160 45号钢或Q275 灰铸铁HT150 172 139 125 106 79 - - 灰铸铁HT200 208 168 152 128 96 - -

　　铸锡青铜蜗轮的基本许用接触应力[σ]H(MPa)

　　 蜗轮材料 铸造方法 蜗杆螺旋面的硬度 ≤45HRC >45HRC 铸锡磷青铜ZCuSn10P1 砂模铸造 150 180 金属模铸造 220 268 铸锡锌铅青铜ZCuSn5Pb5Zn5 砂模铸造 113 135 金属模铸造 128 140

　　注: 锡青铜的基本许用接触应力为应力循环次数N=时之值，当N≠时，需将表中数值乘以寿命系数KHN；当N>25×时，取N=25×；当N<2.6×时，取N=2.6×。

　　从蜗轮齿面接触疲劳强度的验算公式中可得到按蜗轮接触疲劳强度条件设计计算的公式为

从上式算出蜗杆传动的中心距a后，可根据预定的传动比i(z2/z1)从表<普通圆柱蜗杆基本尺寸和参数及其与蜗轮参数的匹配>中选择一合适的a值，以及相应的蜗杆、蜗轮的参数。

　　普通圆柱蜗杆基本尺寸和参数及其与蜗轮参数的匹配

　　中心距

　　a(mm)

　　模数

　　m(mm)

　　分度圆直径

　　d1(mm)

　　()

　　蜗杆头数

　　z1

　　直径系数

　　q

　　分度圆导程角

　　γ(°)

　　蜗轮齿数

　　z2

　　变位系数

　　x2

　　 40 1 18 18 1 18.00 3°10′47″ 62 0 50 82 0 40 1.25 20 31.25 1 16.00 3°34′35″ 49 -0.500 50 22.4 35 17.92 3°11′38″ 62 +0.040 63 82 +0.440 50 1.6 20 51.2 1 12.50 4°34′26″ 51 -0.500 2 9°05′25″ 4 17°44′41″ 63 28 71.68 1 17.50 3°16′14″ 61 +0.125 80 82 +0.250

　　40

　　(50)

　　(63)

　　 2 22.4 89.6 1 11.20 5°06′08″

　　29

　　(39)

　　(51)

　　-0.100

　　(-0.100)

　　(+0.400)

　　 2 10°07′29″ 4 19°39′14″ 6 28°10′43″ 80 35.5 142 1 17.75 3°13′28″ 62 +0.125 100 82

　　50

　　(63)

　　(80)

　　 2.5 28 175 1 11.20 5°06′08″

　　29

　　(39)

　　(53)

　　-0.100

　　(+0.100)

　　(-0.100)

　　 2 10°07′29″ 4 19°39′14″ 6 28°10′43″ 100 45 281.25 1 18.00 3°10′47″ 62 0

　　63

　　(80)

　　(100)

　　 3.15 35.5 352.25 1 11.27 5°04′15″

　　29

　　(39)

　　(53)

　　-0.1349

　　(+0.2619)

　　(-0.3889)

　　 2 10°03′48″ 4 19°32′29″ 6 28°01′50″ 125 56 555.56 1 17.778 3°13′10″ 62 -0.2063

　　80

　　(100)

　　(125)

　　 4 40 640 1 10.00 5°42′38″

　　31

　　(41)

　　(51)

　　-0.500

　　(-0.500)

　　(+0.750)

　　 2 11°18′36″ 4 21°48′05″ 6 30°57′50″ 160 71 1136 1 17.75 3°13′28″ 62 +0.125 100 5 50 1250 1 10.00 5°42′38″ 31 -0.500 (125) 2 11°18′36″ (41) (-0.500) (160) 4 21°48′05″ (53) (+0.500) (180) 6 30°57′50″ (61) (+0.500) 200 90 2250 1 18.00 3°10′47″ 62 0 125 6.3 63 2500.47 1 10.00 5°42′38″ 31 -0.6587 (160) 2 11°18′36″ (41) (-0.1032) (180) 4 21°48′05″ (48) (-0.4286) (200) 6 30°57′50″ (53) (+0.2460) 250 112 4445.28 1 17.778 3°13′10″ 61 +0.2937 160 8 80 5120 1 10.00 5°42′38″ 31 -0.500 (200) 2 11°18′36″ (41) (-0.500) (225) 4 21°48′05″ (47) (-0.375) (250) 6 30°57′50″ (52) (+0.250)

　　注：1）本表中导程角γ小于3°30′的圆柱蜗杆均为自锁蜗杆。
2）括号中的参数不适用于蜗杆头数z1＝6时。
3）本表摘自GB10085－1988。

　　 2.蜗轮齿根弯曲疲劳强度计算
蜗轮轮齿因弯曲强度不足而失效的情况，多发生在蜗轮齿数较多(如z2>90时)或开式传动中。因此，对闭式蜗杆传动通常只作弯曲强度的校核计算，但这种计算是必须进行的。因为校核蜗轮轮齿的弯曲强度决不只是为了判别其弯曲断裂的可能性，对那些承受重载的动力蜗杆副，蜗轮轮齿的弯曲变形量还要直接影响到蜗杆副的运动平稳性精度。由于蜗轮轮齿的齿形比较复杂，要精确计算齿根的弯曲应力是比较困难的，所以常用的齿根弯曲疲劳强度计算方法就带有很大的条件性。通常是把蜗轮近似地当做斜齿圆柱齿轮来考虑，于是得蜗轮齿根的弯曲应力为

式中:—蜗轮轮齿弧长，, 其中θ为蜗轮齿宽角(参看图<普通圆柱蜗杆传动的基本几何尺寸>)，按表<普通圆柱蜗杆传动基本几何尺寸计算关系式普通圆柱蜗杆传动基本几何尺寸计算关系式>中的公式计算；

图<普通圆柱蜗杆传动的基本几何尺寸>

　　普通圆柱蜗杆传动基本几何尺寸计算关系式

　　 名称 代号 计算关系式 说明 中心距 a a=(d1+d2+2x2m)/2 按规定选取 蜗杆头数 z1 按规定选取 蜗杆齿数 z2 按传动比确定 齿形角 α αa=20°或αn=20° 按蜗杆类型确定 模数 m m=ma=mn/cosγ 按规定选取 传动比 i i=n1/n2 蜗杆为主动，按规定选取 齿数比 u u=z2/z1当蜗杆主动时，i=u 蜗轮变位系数 x2 蜗杆直径系数 q q=d1/m 蜗杆轴向齿距 pa pa=πm 蜗杆导程 pz pz=πmz1 蜗杆分度圆直径 d1 d1=mq 按规定选取 蜗杆齿顶圆直径 da1 da1=d1+2ha1=d1+2m 蜗杆齿根圆直径 df1 df1=d1-2hf1=d1-2(m+c) 顶隙 c c=m 按规定 渐开线蜗杆基圆直径 db1 db1=d1·tanγ/tanγb=mz1/tanγb 蜗杆齿顶高 ha1 ha1=·m=0.5(da1-d1) 按规定 蜗杆齿根高 hf1 hf1=(+)m=0.5(d1-df1) 蜗杆齿高 h1 h1=ha1+hf1=0.5(da1-df1) 蜗杆导程角 γ tgγ=mz1/d1=z1/q 渐开线蜗杆基圆导程角 γb cosγb=cosγcosαn 蜗杆齿宽 b1 见下表 由设计确定 蜗轮分度圆直径 d2 d2=mz2=2a-d1-2x2m 蜗轮喉圆直径 da2 da2=d2+2ha2 蜗轮齿根圆直径 df2 df2=d2-2hf2 蜗轮齿顶高 ha2 ha2=0.5(da2-d2)=m(+x2) 蜗轮齿根高 hf2 hf2=0.5(d2-df2)=m(-x2+) 蜗轮齿高 h2 h2=ha2+hf2=0.5(da2-df2) 蜗轮咽喉母圆半径 rg2 rg2=a-0.5da2 蜗轮齿宽 b2 由设计确定 蜗轮齿宽角 θ θ＝2arcsin(b2/d1) 蜗杆轴向齿厚 sa sa＝0.5πm 蜗杆法向齿厚 sn sn=sa·cosγ 蜗轮齿厚 st 按蜗杆节圆处轴向齿槽宽ea确定 蜗杆节圆直径 d1 d1=d1+2x2m=m(q+2x2) 蜗轮节圆直径 d2 d2=d2

　　蜗轮宽度B、顶圆直径de2及蜗杆齿宽b1的计算公式

　　 z1 B de2 x2 b1 1 ≤0.75da1 ≤da2+2m

　　0

　　-0.5

　　-1.0

　　0.5

　　1.0

　　≥(11+0.06z2)m

　　≥(8+0.06z2)m

　　≥(10.5+0.06z1)m

　　≥(11+0.1z2)m

　　≥(12+0.1z2)m

　　当变位系数x2为中间值时，b1取x2邻近两公式所求值的较大者。

　　经磨削的蜗杆，按左式所求的长度应再增加下列值：

　　当m<10mm时，增加25mm；

　　当m=10～16mm时，增加35～40mm；

　　当m>16mm时，增加50mm；

　　 2 ≤da2+1.5m 4 ≤0.67da1 ≤da2+m

　　0

　　-0.5

　　-1.0

　　0.5

　　1.0

　　≥(12.5+0.09z2)m

　　≥(9.5+0.09z2)m

　　≥(10.5+z1)m

　　≥(12.5+0.1z2)m

　　≥(13+0.1z2)m

　　 mn—法向模数，mn=mcosγ，mm；
Ysa2—齿根应力校正系数，放在[σ]F中考虑；
Yε—弯曲疲劳强度的重合度系数，取Yε=0.667 ；
Yβ—螺旋角影响系数，Yβ=1-γ/120°。

　　将以上参数代入上式得

　　式中：YFa2—蜗轮齿形系数，可由蜗轮的当量齿数及蜗轮的变位系数x2从图<蜗轮齿形系数>中查得。

　　 [σ]F—蜗轮的许用弯曲应力，MPa。[σ]F=[σ]F·KFN，其中[σ]F为计入齿根应力校正系数YSa2后蜗轮的基本许用应力，由下表中选取；KFN为寿命系数，，其中应力循环次数N的计算方法同前。

　　蜗轮的基本许用弯曲应力（MPa）

　　 蜗轮材料 铸造方法 单侧工作 双侧工作 铸锡青铜ZCuSn10P1 砂模铸造 40 29 金属模铸造 56 40 铸锡锌铅青铜ZCuSn5Pb5Zn5 砂模铸造 26 22 金属模铸造 32 26 铸铝铁青铜ZCuAl10Fe3 砂模铸造 80 57 金属模铸造 90 64 灰铸铁 HT150 砂模铸造 40 28 HT200 砂模铸造 48 34

　　 注: 表中各种青铜的基本许用弯曲应力为应力循环次数N=时之值，当N≠时，需将表中数值乘以寿命系数KFN；
当N>25×时，取N=25×；当N<时，取N=。

　　上式为蜗轮弯曲疲劳强度的校核公式，经整理后可得蜗轮轮齿按弯曲疲劳强度条件设计的公式为

　　计算出后,可从<普通圆柱蜗杆基本尺寸和参数及其与蜗轮参数的匹配>表查出相应的参数。

　　（四）蜗杆的刚度计算

　　 蜗杆受力后如产生过大的变形，就会造成轮齿上的载荷集中，影响蜗杆与蜗轮的正确啮合，所以蜗杆还必须进行刚度校核。校核蜗杆的刚度时，通常是把蜗杆螺旋部分看作以蜗杆齿根圆直径为直径的轴段，主要是校核蜗杆的弯曲刚度，其最大挠度y可按下式作近似计算，并得其刚度条件为

　　式中：Ft1—蜗杆所受的圆周力，N；

　　 Fr1—蜗杆所受的径向力，N；

　　 E—蜗杆材料的弹性模量，MPa；

　　 I—蜗杆危险截面的惯性矩，I＝，，其中df1为蜗杆齿根圆直径，mm；

　　L′—蜗杆两端支承间跨距，mm，视具体结构要求而定,初算时可取L′≈0.9d2，d2为蜗轮分度圆直径；

　　 [y]—许用最大挠度，[y]＝d1/1000，此处d1为蜗杆分度圆直径，mm。

　　（五）普通圆柱蜗杆传动的精度等级及其选择

　　GB10089-1988对蜗杆、蜗轮和蜗杆传动规定了12个精度等级；1级精度最高，依次降低。与齿轮公差相仿，蜗杆、蜗轮和蜗杆传动的公差也分成三个公差组。

　　普通圆柱蜗杆传动的精度，一般以6～9级应用得最多。6级精度的传动可用于中等精度机床的分度机构、发动机调节系统的传动以及武器读数装置的精密传动，它允许的蜗轮圆周速度v2>5m/s。7级精度常用于运输和一般工业中的中等速度(v2<7.5m/s)的动力传动。8级精度常用于每昼夜只有短时工作的次要的低速(v2≤3m/s) 传动。